Un truc de banquier

On admet le résultat suivant : s i \(x\)  est proche de 0, alors \(\ln(1+x)\approx x\) .
Par exemple,  \(\ln(1+0,02)=\ln(1,02)=0,0198\)  à \(10^{-4}\)  donc \(\ln(1+0,02)\approx0,02\) .

Voici l'affirmation d'un banquier : « Pour estimer le nombre d'années qu'il faut à un capital placé à intérêts composés pour doubler, il suffit de diviser 70 par le taux d'intérêt.  »

1. Montrer que le nombre d'années \(n\)  nécessaires au doublement d'un capital placé à \(t\ \%\) d'intérêts composés vérifie \(n\geqslant\dfrac{\ln2}{\ln\left(1+\dfrac{t}{100}\right)}\) .

2. Soit   \(N=\dfrac{\ln2}{\ln\left(1+\dfrac{t}{100}\right)}\)   .

    a. En considérant que \(\dfrac{t}{100}\)  est proche de 0, donner une valeur approchée de \(N\)  en fonction de \(t\) .

    b. En déduire que \(Nt\approx70\) .

3. Déterminer le nombre d'années nécessaires au doublement d'un capital placé à
    a. 3 % (taux du livret A en 2024).
    b. 5 % (taux proposé par la très compétente Samira Bien)
    c. 10 % (taux proposé par l'obscur Charles Attand).

Remarque

Cette règle est appelée règle des 70, ou encore règle des 72, qui fonctionne mieux si le taux d'intérêt est élevé (plus de 5 %).